¿Por qué 2 + 2 = 4?

Se puede demostrar, aunque resulte complicado

¡Pues está bien claro! ¡Cuando algo está claro se dice que dos más dos son cuatro! ¡Esto es más banal aún que la expresión "dos por dos son cuatro"!.

Pero ¡un momento! No hay nada claro. En matemáticas, al igual que en otras muchas ciencias, podemos cuestionarnos incluso afirmaciones que parezcan meridianamene claras: ¿por qué esto es así? Y también podemos darles respuesta, ya que se puede demostrar que 2 más 2 es igual a 4. Como veremos, se puede, aunque resulte la mar de complicado.

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Para demostrar "2 + 2 = 4" hay que ahondar un poco más en los axiomas de Peano. Uno de los axiomas postula que existe un "primer" número natural al que denominamos 1. Otro afirma que cada número natural n tiene un "sucesor" que designamos con n.

Esto ya nos permite empezar a trabajar en condiciones. Para demostrar que "2 + 2 = 4" hay que aclarar qué quieren decir 2 y 4, y qué significa "+". De este modo sabremos con exactitud qué significan la mitad izquierda y la mitad derecha de la igualdad, y podremos decididr si son iguales o no.

Manos a la obra. Todo número natural tiene un sucesor, de modo que también lo tiene el número 1. Al sucesor 1´ de 1 lo llamamos 2. Al sucesor de 2 lo denominamos 3; expresado mediante una fórmula sería: 2´=: 3. (Los dos puntos indican que se define lo que aparecen en la parte de la iualdad donde están los dos puntos en nuestro caso, el símbolo "3".) Por último, definamos 4 :=3' = (2')' = ((1´)´)´.

Veamos ahora la adicción. Definamos en primer lugar para todo número natural la suma n + 1 como. Expresado en una igualdad sería: n + 1 := (n´)´.

Ya podemos expresar también la parte izquierda de nuestra igualdad:

2 + 2 = 1´+ 2 = ((1´)´)´

Como vimos más arriba, esa es justamente la expresión de 4. De modo que, en efecto, se cumple que 2 + 2 = 4.

Matemáticas: 101 preguntas fundamentales. Albrecht Beutelspacher. Alianza Editorial.

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