Desafío matemático: Tres reyes y un mono

Se reparten los plátanos

Un nuevo Quodesafío. Un poco más fácil que el de las bolas... pero no mucho más. En esta ocasión la historia la protagonizan un mono, tres reyes y los plátanos que tu nos digas.

Tres reyes de un tablero de ajedrez, que formaban sociedad, tenían un mono.

Una tarde compraron un cajón de plátanos, con la intención de repartírsela al día siguiente.

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Uno de ellos se levantó por la noche y comenzó a contar los plátanos y los dividió en tres partes iguales. Tomó para si una de ellas, dejó las dos restantes para sus amigos monarcas y, como le había sobrado un plátano se lo dio al mono.

Poco después se despertó otro rey y contó los plátanos que quedaban. Los dividió en tres grupos iguales. Pero sobraba uno y decidió, también, dárselo al mono. Al terminar, se llevó su parte.

Un poco más tarde se levantó el último monarca, sin sospechar lo que habían hecho sus compañeros; dividió en tres nuevos grupos los plátanos restantes y como había uno de más, se lo dio al mono. Se llevó la parte que le correspondía y se fue a dormir.

A la mañana siguiente se levantaron y ninguno dijo lo que había hecho por la noche. Hicieron el reparto de los plátanos que había en ese momento; cada uno se llevó la tercera parte y sobró un plátano que le dieron al mono.

¿Cuál es el menor número posible de plátanos para realizar estas operaciones?

SOLUCIÓN

Agradecemos este enigma a @eduardoochoa.

El menor número posible de plátanos para realizar estas operaciones es 79.

  • El primer rey (negro), le da un plátano al mono y divide el resto entre 3. Se queda con 1 parte y deja 2 partes, para así repartirlas al dia siguiente. Sin embargo, un poco después...
  • El segundo monarca (blanco), le da un plátano al mono y divide el resto entre 3. Se queda con 1 parte y deja 2 partes, para así repartirlas al dia siguiente. Sin embargo, un poco después...
  • El último y tercer rey (rojo), le da un plátano al mono y divide el resto entre 3. Se queda con 1 parte y deja 2 partes, para repartirlas al dia siguiente. Ahora sí, a la mañana siguiente...
  • Se despiertan los 3 monarcas y le dan un plátano al mono y dividen el resto entre los 3
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    ¿Esto como lo traducimos a lenguaje matemático?

    Vamos a llamar E al número total de plátanos y D a los plátanos que se queda el rey negro. Si al total le resta un plátano que le da al mono, ¿Cuantos platanos quedan?

    E - 1

    Muy bien.

    ¿Que es lo que que hace ahora el rey negro con esta cantidad? ¿La divide entre 3 partes? Y se queda con una de esas 3 partes? A esa cantidad la hemos llamado D. Luego

    D= (E - 1) /3

    Vamos muy bien!. El rey negro se queda con una parte y deja 2 partes (2*D) para repartirlas al día siguiente, pero a los pocos minutos se levanta el rey blanco y de esas 2 partes, 2*D, da un plátano al mono. Luego si a 2*D le restamos un plátano, ¿Qué es lo que nos queda?

    2*D - 1

    y ahora el rey blanco hace 3 nuevas partes y llamamos C a una de esas partes. Vamos bien? Pués vamos a escribirlo:

    Si tengo 2*D-1 y lo divido por 3, tengo

    (2*D - 1)/3 y esto es igual a C

    o mismo que

    C = (2*D - 1)/3

    Bien, ahora el rey blanco toma una de esas partes, C, y deja 2 partes, 2*C. Pero después se despertó el rey rojo y a esa cantidad de plátanos le restó 1 para dárselo al mono:

    2*C - 1

    lo dividió en tres partes

    (2*C-1)/3

    y se quedo con una de ellas, que la llamaremos B, luego

    B = (2*C-1)/3

    y dejo otras dos partes, 2*B.

    A la mañana siguiente se despertaron los 3 reyes, dieron un plátano al mono, 2*B - 1, y se repartieron esa cantidad entre los 3, que la llamaremos A. Luego

    A = (2*B-1)/3

    Ahora sólo nos queda juntar todas estas ecuaciones... Vamos allá.

    Tenemos entonces

    D= (E - 1) /3

    C = (2*D - 1)/3

    B = (2*C-1)/3

    A = (2*B-1)/3

    Sustituyendo en la última el valor de B, nos queda...Bueno no lo voy a escribir, si quieres saber que ecuación queda después de ir sustituyendo los valores de B,C,D en A:

    81*A + 65 = 8 * E

    Ahora necesitaras saber resolver ecuaciones Diofánticas como esta... Pero espera un momento, si ponemos esta ecuación del siguiente modo equivalente:

    (81*A+65)/8=E

    Podemos poner esta fórmula en MS-Excel y buscamos los valores de E enteros, es decir sin decimales y encontramos que para A=7, el total de plátanos es E = 79 (entero). La ecuación anterior tiene infinitas soluciones, algunas de ellas se pueden ver si has recurrido a Excel.

    Comprobamos la solución:

    79 plátanos.

    De esta forma:

    • Si quitamos uno del mono, el rey negro tomó 78 : 3 = 26 y quedaron 79 – 1 – 26 = 52
    • Si ahora quitamos otra vez el plátano del mono, el segundo rey tomó 51 : 3 = 17 y quedaron 52 – 1 – 17 = 34 plátanos.
    • Quitando nuevamente el del mono, el tercero se llevó 33 : 3 = 11 y quedaron 34 – 1 – 11 = 22 plátanos.
    • Y así, por la mañana, dieron uno al mono y se repartieron los 21 restantes entre los tres. 7 plátanos.
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