Jamás podremos predecir el destino de los 29.000 patitos de goma que cayeron al mar durante una tormenta. Esta es la pesarosa conclusión de un estudio que pone de manifiesto que las matemáticas no son todopoderosas, que tienen un límite.

Si lanzamos un mensaje dentro de una botella, no podemos asegurar que llegue a su destinatario. A día de hoy, ni la matemática más avanzada, ni los algoritmos más sofisticados, pueden predecir cómo van a comportarse las partículas de un fluido, como las del agua del océano a las que cayeron en una tormenta 29.000 patitos de goma.

Los 29.000 patitos de goma cayeron de un carguero durante una tormenta y se perdieron en el océano en 1992: nadie pudo predecir dónde aparecerían, ni cuándo. De hecho, aún hoy continúa apareciendo varado algún patito náufrago.

Matemáticos españoles de primer nivel han desarrollado una «máquina de agua» (siguiendo las pautas de las máquinas de Turing) para tratar de desentrañar uno de esos dilemas que tiene a los matemáticos en jaque desde hace siglos: ¿Cómo se comportan los fluidos? Entenderlo, permitiría predecir el destino de los patitos náufragos.

El resultado de la investigación, tras construir la máquina de agua, es que no existe ningún algoritmo que permita asegurar si una partícula fluida pasará por cierta región del espacio en tiempo finito.  Es decir, es imposible saber dónde estará el patito en una hora o día determinado. “Esta incapacidad de predicción, que es distinta a la que establece la teoría del caos, supone una nueva manifestación del comportamiento turbulento de los fluidos”, afirman los investigadores. Las matemáticas, así, han encontrado un límite.

En recuerdo de los patitos de goma y su ayuda a la ciencia

Fue un acontecimiento de repercusión internacional y de alto impacto, ya que a día de hoy todavía hay patitos náufragos arribando a playas del mundo.

Lo que ocurrió en  1992 fue que un fuerte temporal en el Pacífico, azotó a un cargero chino y doce de los contenedores que transportaba se soltaron por la borda. Uno de ellos terminó por abrirse y liberar 29.000 juguetes de baño de vivos colores, fabricados por la compañía china «First Year Inc”.

Fue el inicio de un enorme éxodo que ha servido a los científicos, que les han seguido la pista, para conocer las corrientes oceánicas,  e incluso han podido reconstruir  el trayecto de los patitos hasta que han ido tocando tierra firme, a lo largo y ancho de las playas del mundo.

Sin embargo, el mejor sistema computacional actual no puede predecir si ese patito volvería a caer ahí si otro desafortunado accidente le echara al mar en el mismo punto donde cayó.

La enorme complejidad de predicción del movimiento de las partículas que forman los fluidos, en este caso, el mar, es un desafío para el que los matemáticos, de momento, tiran la toalla. los matemáticos. Una investigación liderada por matemáticos españoles acaba de confirmar que las matemáticas no llegan, que, a día de hoy, predecir el destino de los patitos pone un límite a la todopoderosa matemática.

En busca de una máquina de agua virtual

Hace siete años el medallista de las matemáticas Fields Terence Tao, famoso por su amplia visión de la investigación matemática actual, propuso un nuevo enfoque para resolver el afamado problema sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el movimiento fluidos.

Eva Miranda, catedrática de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), vio la publicación en el blog de Tao y le llamó la atención, ya que en aquellos momentos estaba finalizando un trabajo sobre fluidos en espacios con frontera.

Ahora, junto a Francisco Presas (ICMAT-CSIC), han conseguido, por primera vez, construir soluciones para un fluido capaz de simular cualquier máquina de Turing, motivados por el enfoque de Tao. El resultado se ha publicado  en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).

Qué tienen que ver los patitos con la máquina de Turing

Una máquina de Turing es una construcción abstracta capaz de simular cualquier algoritmo. Recibe, como dato de entrada, una secuencia de ceros y unos y, tras un número de pasos, devuelve un resultado, también en forma de ceros y unos. Lo que han hecho los investigadores ha sido construir con estas pautas una máquina que simule el agua.

El fluido estudiado por los investigadores se puede considerar como una máquina de agua; toma como dato de entrada un punto del espacio, lo procesa –siguiendo la trayectoria del fluido por ese punto– y ofrece como resultado la siguiente región a la que se ha desplazado el fluido. El resultado es un fluido incompresible y sin viscosidad –las ecuaciones de Navier-Stokes sí consideran la viscosidad– en dimensión tres. Es la primera vez que se consigue diseñar una máquina de agua.

Una de las consecuencias principales del resultado es que permite probar que ciertos fenómenos de la hidrodinámica son indecidibles. Por ejemplo, si lanzamos un mensaje dentro de una botella, no podemos asegurar que llegue a su destinatario. Y jamás sabremos el destino de los 29.000 patitos de goma que cayeron al mar durante una tormenta

Es decir, no existe ningún algoritmo que permita asegurar si una partícula fluida pasará por cierta región del espacio en tiempo finito. “Esta incapacidad de predicción, que es distinta a la que establece la teoría del caos, supone una nueva manifestación del comportamiento turbulento de los fluidos”, afirman los investigadores.

El caos y la mariposa

“En la teoría del caos la impredecibilidad está asociada a la extrema sensibilidad del sistema con las condiciones iniciales –el aleteo de una mariposa puede generar un tornado–, en este caso se va más allá: probamos que no puede haber ningún algoritmo que resuelva el problema, no es una limitación de nuestro conocimiento, sino de la propia lógica matemática” destacan Miranda y Peralta-Salas.

Esto muestra la complejidad del comportamiento de los fluidos, que aparecen en diversos campos, desde la predicción del tiempo atmosférico hasta la dinámica en caudales y cascadas.

Sobre su relación con el problema de Navier-Stokes, incluido en la lista de los Problemas del Milenio de la Fundación Clay, los investigadores son cautelosos.

“La propuesta de Tao es, de momento, hipotética”, aseguran. Su idea es usar un ordenador de agua para forzar al fluido para que acumule más y más energía en regiones cada vez más pequeñas, hasta que se forme una singularidad, es decir, un punto en el que la energía se haga infinita. La existencia o no de singularidades en las ecuaciones es, precisamente, el problema de Navier-Stokes. Sin embargo, “de momento no se sabe hacer esto para las ecuaciones de Euler o Navier-Stokes”, afirman los científicos que han discutido sus resultados con Tao.

La máquina de agua de Cardona, Miranda, Peralta-Salas y Presas –la primera que existe–, está guiada por las ecuaciones de Euler pero sus soluciones no tienen singularidades.

Para su diseño han sido clave diversas herramientas de geometría, topología y sistemas dinámicos desarrolladas en los últimos 30 años. En concreto, se combina la geometría simpléctica y de contacto y la dinámica de fluidos, con la teoría de ciencias de la computación y la lógica matemática. “Nos ha costado más de un año entender como conectar los diversos cables de la demostración”, concluyen los científicos.

 

Referencia: “Constructing Turing complete Euler flows in dimension 3” por Robert Cardona (UPC), Eva Miranda (UPC), Daniel Peralta-Salas (ICMAT) y Francisco Presas (ICMAT). Publicación: PNAS 2021.

 

El ICMAT

El ICMAT es un centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y tres universidades de Madrid: la Autónoma (UAM); Carlos III (UC3M); y Complutense (UCM). Su principal objetivo es el estímulo de la investigación matemática de alta calidad y de la investigación interdisciplinar. Es uno de los centros españoles del programa de excelencia Severo Ochoa, lo que acredita la alta calidad de su proyecto investigador. Además, sus investigadores han obtenido catorce de las prestigiosas ayudas del Consejo Europeo de Investigación (ERC), en las modalidades ‘Starting’, ‘Consolidator’ y ‘Advanced’ y una Cátedra Permanente de la AXA Research Fund.